Математическое ожидание в покере

[Olegonti]

В данной статье будет раскрыто понятие математического ожидания в покере как одного из фундаментальных составляющих игры. Это верно по одной простой причине – играя с положительным матожиданием, вы всегда будете иметь прибыль на достаточно продолжительном отрезке времени. Любой успешный игрок в покер всегда играет с плюсовым матожиданием.

Для начала рассмотрим некоторые понятия:

Математическое ожидание в покере – по сути прибыльность, то есть средняя выгода от принимаемых решений при условии рассмотрения данных решений на длительной дистанции и в рамках теории больших чисел.

Дисперсия – величина, характеризующая отклонение случайной величины от математического ожидания. Другими словами, это разброс ваших выигрышей и проигрышей на дистанции относительно среднего значения.

Дистанция – временной отрезок, характеризующийся количеством сыгранных рук. Как правило, под дистанцией понимают длительный временной период.

Винрейт (ББ/100) – показатель прибыльности в кэш игре, который показывает, сколько ББ (больших блайндов) игрок выиграет за 100 рук. В турнирном покере аналогичным показателем является ROI.

Поскольку покер – это в большей степени игра, построенная на случайных числах (т.е. величинах, которые не имеют определенного значения, например, карты вашего оппонента или карты на борде), то в ней действует теория больших чисел, согласно которой на длительной дистанции среднее значение случайной величины будет стремится к ее математическому ожиданию.

Существует немало формул для нахождения мат ожидания в покере, но суть в каждой из них одинакова – нахождение разницы между положительным и отрицательным исходом события:

Математическое ожидание в покере = Сумма выигрыша * Шанс выигрыша – Сумма проигрыша * Шанс проигрыша.

Рассмотрим пример:

Допустим у нас АК при блайндах $1/$2. Мы делаем рейз до $8 и получаем один колл. В банке — $19. На флопе выходит Q-5-2 (разномастные). Мы делаем контбет в размере $13. Предположим, что в 50% случаев оппонент сделает фолд, в 30% он сделает рейз (на который нам придется упасть), а в 20% просто заколлирует.

В этом случае мат ожидание (М) = 50% * $19 – 30% * $13 + Мат. ожидание колла = $5,6 + Матожидание колла.

Следовательно, наше действие на флопе будет приносить нам на дистанции $5,6. Но что будет, если оппонент сделает колл? Предположим, что наш противник играет со средней дамой (например, Q10), и если на терне придет A или К, то мы гарантированно выиграем. У нас есть 6 аутов или 12,8% (только на терне). Находим мат ожидание колла:

Математическое ожидание колла = 20% ($19 * 12,8% — $13 * 87,2%) = 20% * (2,432 – 11,336) = -$1,8

Прибавив полученное значение к $5,6, получим +$3,8 – наше искомое мат. ожидание. Данное значение относится лишь к нашей ставке на флопе.

Подобным образом можно рассчитать любое действие в покере на любой улице или префлоп.

Следует учесть, что фолд всегда имеет нулевое мат. ожидание, поэтому является приоритетным ходом перед сильно минусовыми действиями.

Помимо мат ожидания в покере следует учитывать другую очень важную величину – дисперсию. Рассмотрим небольшой пример. У нас на руках 77 в турнире. Мы открываемся из поздней позиции и получаем 3-бет олл-ин от равного нашему стека. Что вы будете делать? Против любых двух овер карт (а именно их мы и поставим нашему оппоненту) у нас есть лишь небольшое преимущество (2-3%) (т.е. по сути, ситуация будет 50 на 50). На первый взгляд, колл будет положительным, ибо мы будем на дистанции иметь прибыль от этих самых процентов. Но здесь стоит учитывать дисперсию.

Во-первых, следует всегда помнить, что вы можете проиграть 10 раз подряд, прежде чем выиграть в ситуации 50% на 50%.  Тем более, если это происходит в турнире и у вас еще вполне играбельный стек. Задумайтесь, стоит ли рисковать ради незначительной прибыли на дистанции своим положением в турнире?

Игроки, которые отвечают на этот вопрос утвердительно, «раздувают» собственную дисперсию. Это означает, что они могут иметь как высокую прибыль на короткой/средней дистанции, так и значительные убытки. В современном покере всегда приходится выбирать между значительной, но сверхприбыльной дисперсией или спокойной, безрисковой с умеренными прибылями.

Исходя из этого, вы можете увидеть огромные винрейты у некоторых игроков или сверхплюсовые ROI. Безусловно, они не всегда означают только раскаченную дисперсию, но она всегда имеет место быть.

Напоcледок, хотелось бы привести пример мат ожидания из реальной жизни, а именно из игры в рулетку. В европейской версии этой игры мы можем поставить на одно из 37 чисел, и в случае выигрыша получим сумму, в 36 раз превышающую нашу ставку. Поставим $1.

Математическое ожидание = 35 * 1/37 – 1 * 36/37 = — $0,027

Это говорит о том, что в данной игре матожидание всегда отрицательно, поэтому играть в нее нет смысла (по крайней мере на дистанции).

Покерная математика пригодится вам в игре в одном из лучших покер-румов, Покер Старс и Фулл Тилт покер.

[19632ы]

При игре в покер математическое ожидание можно рассчитывать как для ставок, так и для коллов. В первом случае во внимание следует принимать фолд-эквити оппонента, во втором - собственные шансы банка.

Рассмотрим типичную ситуацию блефа в Техасском Холдеме, а именно - продолженную ставку:

Стол со ставками $1/$2. Мы рейзили на префлопе до $6 c A♠ Q♦ и получили колл от одного оппонента.

На флопе пришли J♥ 7♣ 7♦. В банке - $13. Мы не получили готовую руку и предпринимаем попытку украсть банк продолженной ставкой размером в $7. Предположим, что оппонент в 50% случаев сбросит руку, в 30% сыграет рейз и в 20% сыграет колл нашей ставки. На рейз мы, естественно, сбросим свою руку. В этом случае математическое ожидание нашего хода будет выглядеть следующим образом:

<math>M[X]= 13 * 50\% - 7 * 30\% + M[call] = 4.4 + M[call]</math>

То есть, наш ход на флопе принесет в среднем +$4.4. Однако следует еще учесть математическое ожидание, которое мы будем иметь при колле оппонента. На терне, если мы получим A или K, наша рука будет часто впереди. Поэтому, предположим, что в случае прихода нужной карты мы выиграем этот банк, в случае не прихода - проиграем. Вероятность получить один из 6 аутов на терне составляет 12.8%. То есть, M[call] в нашем случае будет равен:

<math>M[call]= 20\% * (13 * 12.8\% - 7 * 87.2\%) = -0.888</math>

Прибавим это значение к полученному выше общему матожиданию и получим, что итоговое ожидание нашей продолженной ставки будет составлять +$3.512.

Теперь рассмотрим ситуацию колла на терне с рукой-дро: В банке $40, наша рука K♥ 8♥. На терне борд выглядит следующим образом: A♠ 3♥ 2♥ Q♣, что дает нам флеш-дро. Оппонент делает ставку в размере $15, слово за нами. Наш оппонент очень аккуратен и в случае прихода третьей червы на ривере, он всегда сбросит свою руку (другими словами, будем пренебрегать своими предполагаемыми шансами).

В этой ситуации шанс на получение готового флеша на ривере составляет 19.6%. Будем считать, что в случае прихода флеша мы выигрываем этот банк, в остальных случаях - проигрываем. Рассчитаем матожидание колла:

<math>M[call]= 55 * 19.6\% - 15 * 81.4\% = -1.43</math>

Таким образом, каждый подобный колл мы будем терять в среднем $1.43 на дистанции. Оптимальным решением будет сброс руки.

Примечание: При оценке математического ожидания того или иного хода следует помнить, что фолд всегда имеет нулевое матожидание. Таким образом, сброс карт будет всегда более выгодным решением, чем любой отрицательный ход.

 

[Egor432]

обязательно надо учитывать и держать в голове информацию которую получили на этом сайте

[kredor300]

Спасибо за информацию.

[Denplus4ch]

Отличная статья, спасибо, ожидание - это главное.

[Kokoska123]

Хорошо статья _ и полезная информация .. спасибо автору 

[Fefela]

Ты можешь с Парой К проиграть паре 5, когда на стол 5 выпадет.